∞⁰ = ∞, 1 või määratlemata. Mis see on?

Paar päeva tagasi kirjutasin artikli Ramanujani summeerimisest, mille lühikese loo lühikeseks lõikamiseks on matemaatiline sari, mis näeb välja umbes selline:

Kui soovite artiklit lugeda, klõpsake siin. Ma tõestan seda fakti artiklis koos kahe teise võrdselt huvitava võrrandiga. Tegelikult takerdusin selle artikli idee juurde. Pärast Ramanujani kokkuvõtte avaldamist sain kommentaari lõputult loendatava komplekti kommutatiivsuse kasutamise kohta. Kommutatiivsus on idee, et kui teil on 1 + 2 + 3, siis terminite ümberkorraldamine tulemust ei muuda. Nii et 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, võite kasutada termineid suvalises järjekorras ja vastus on alati 6. Kasutan seda omadust ülaltoodud võrrandi tõestamiseks oma teises artiklis, kuid forceOfHabit tõi välja huvitava punkt, kas see kehtib lõpmatu arvu komplektide korral?

“Selle intuitiivselt ilmne on positiivseid täisarvu kaks korda rohkem kui isegi positiivseid täisarvu. Kuid kui me võtame positiivsete täisarvude jada ja korrutame need kõik kahega, saame isegi positiivsete täisarvude jada. Kuid jada iga liikme korrutamine 2-ga ei muuda liikmete arvu. Seega on positiivseid täisarvu täpselt sama palju kui isegi positiivseid täisarvu. Mis see siis on? Kaks korda nii palju või sama arv? ” - forceOfHabit

Ja ausalt, ma ei teadnud sellele vastust. Kuid see oli minu huvi tipanud, nii et otsustasin seda pisut lähemalt uurida. Käisin läbi Wikipedia ussiauku läbi matemaatika eri harude, õppides teel huvitavaid fakte ja jõudsin kardinaalsuseni. Kardinaalsus tegeleb komplektidega ja kuidas kirjeldaksite komplekti elementide arvu. Näiteks komplektis {1,2,3} on 3 elementi või kardinaalsus 3.

Kardinaalsust kasutades võime hakata ülaltoodud küsimustega tegelema. Uurisin natuke edasi ja leidsin kardinaalsuse huvitava osa, mida nimetatakse kardinaalseks aritmeetikaks - need on aritmeetilised operatsioonid, mida saab teha kardinalnumbritega, mis üldistavad looduslike arvude tavalised toimingud. Limensi järgi öeldes on tegemist spetsiaalsete operatsioonide komplektiga, mis töötavad spetsiaalselt kardinalnumbrite jaoks, igaühel on oma määratlus. Näiteks kui teil on kaks komplekti A ja B vastavalt kardinaalsusega 3 ja 4, tähistame seda kui | A | = 3 ja | B | = 4. Siis | A | + | B | = | A ∪ B |. Muidugi, see on sama, kui lihtsalt | A | arvuliste väärtuste lisamine ja | B |, see, et see on sel viisil määratletud, näitab, kuidas on olemas aritmeetilisi operatsioone, mida saab luua konkreetsete komplektide jaoks (tingimusel, et operatsioon vastab teatud kriteeriumidele).

Kardinaalse aritmeetika abil on tõestatud mitte ainult, et punktide arv reaalarvu reas on võrdne punktide arvuga selle rea mis tahes segmendis. See kõlab väga vastuoluliselt, aga jällegi, nii on ka ülaltoodud küsimus, mistõttu mulle meeldib mõelda, et nad on sarnased. Ilmselt pole see mingil juhul formaalne ega isegi kehtiv tõestusmaterjal, kuid ma tahaksin, et kui arvestada neid samas mõttes, on forceOfHabiti küsimusele vastus b; sama arv täisarvu.

Kuid teisest küljest võin ma täiesti eksida ja see on lõpmatuse hämming. Seal on nii palju, mida selle kohta ei teata, sest see on lihtsalt kontseptsioon. Lõpmatust pole võimalik mõõta, sest definitsiooni järgi on see mõõtmatu ja see on juba iseenesest keeruline mõte oma pea ümber mässida. Arvan, et minu 1. aasta matemaatikaprofessor võttis lõpmatuse päris hästi kokku: “Ma vihkan lõpmatust. See ei ole arv, kuid me kohtleme seda nagu ühte, kuid me ei peaks. See on mõiste, mitte matemaatiline väärtus, nii et kui keegi teist kasutab seda sellisena, võite ka kursuse maha jätta! ”

Nüüd minu lemmikanumbri jaoks kogu maailmas. Küsite kelleltki, milline on nende lemmiknumber (pärast seda, kui ilmastikuolud on lühikese jutuga otsa saanud) ja nad ütlevad tõenäoliselt midagi, mis on seotud sünnipäeva või õnnenumbriga, millesse nad usuvad. Kuid küsige minult ja ma ütlen teile 0. See ei ole õnnenumber ega sünnipäev või aastapäev, kuid see on minu jaoks siiani kõige huvitavam.

Alustuseks on sellel väärtus, kuid mitte mingit väärtust. Kui lisate selle mõnele teisele numbrile, jääb see samaks. Lahutage see, jääb samaks. Kuid korrutades saad 0, sõltumata sellest, mida sa sellega korrutad.

1 x 0? 0

123456789876543212345678987654321 x 0? 0

Jagatuna saate 0, sõltumata sellest, milline nimetaja see on (tulp 1, olge selle jaoks kursis). 0/1234 on endiselt null

Kuid kui sukeldute nulliga, saate tõeliselt vingeid asju. Ma räägin, et maatriksitasemel kuulid on pöörased. Kõik, kes on algebra klassi võtnud, teavad, et me ei saa nulliga jagada, sest see on määratlemata. Me liigitame selle määratlemata, kuna kui proovite jagada 6 nulliga, on see analoogne küsimusele „Mitu korda korda 0 võrdub kuuega?“ Me teame, et selle rahuldamiseks pole ühtegi arvu, seega ei järgi nulliga jagamine tavapäraseid jagamisreegleid. Seega eirame seda. Kuid kui me selle reegli sekundiks unustame, võib nullist jagamine saada väga ilusaks vahendiks täiesti naeruväärsete asjade tõestamiseks. Näiteks:

Olgu a = b. Siis
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) #Magiline samm toimub siin
2 = 1

Seal me läheme, ma lihtsalt tõestasin, et 2 = 1 ja murdsin matemaatikat! Põhjus, miks see töötab, on maagilise sammu tõttu, jagades mõlemad pooled a² - ab-ga, kuid kui vaadata algset lauset, siis a = b, seega a² = ab, teisisõnu a² - ab = 0. See jaguneb null, mis on sel täpsel põhjusel määratlemata. Seetõttu väldivad matemaatikud seda nagu katku.

Õnneks on see tegelikult kolmas võimalus. Ma võiksin läbi vaadata, kuidas see on limiidi kujul, siis on see määramatu vorm, kuid ma arvan, et Apple'i tuntud sõber kirjeldab seda kõige paremini:

„Kujutage ette, et teil on 0 küpsist ja jagate need ühtlaselt 0 sõbra vahel. Mitu küpsist iga inimene saab? Näe, sellel pole mõtet. Ja Cookie Monster on kurb, et küpsiseid pole. Ja sa oled kurb, et sul pole sõpru. ” - Siri (proovige tõesti Siri käest küsida, mis jagatakse 0-ga 0-ga?)

Keerulisem küsimus, mis hõlmab nulli, mis on 0⁰? Noh definitsiooni järgi, kui teil on b võimsusega b, siis korrutatakse tulemus iseenesest b korda. Nii et see peab olema null eks? Sest mis tahes arv, mis on korrutatud nulliga, on null. Kuid me teame ka, et a⁰ = 1 (kõigi a ≠ 0 korral), nii et võib-olla peaks see olema 1? Või peaks see olema määratlemata nagu jagamine 0-ga? Selle üle on matemaatikas pikalt vaieldud ja mõlemale poolele on argumente selle kohta, milline peaks olema tõeline vastus. Siin on huvitav veebisait, mis pakub argumente mõlemale poolele, kuid peamised neist on järgmised: 0⁰ peaks olema määratlemata pool, meil on:

  1. Me teame, et a⁰ = 1 (kõigi a ≠ 0 korral), kuid a⁰ = 1 (kõigi a> 0 korral). See vastuolu tähendab, et 0⁰ peaks olema määratlemata

0⁰ = 1 poolel on meil:

  1. Binoomiteoreemi püsimiseks x = 0 on meil vaja 0⁰ = 1
  2. 0⁰ tähistab tühja toodet (0-elemendikomplektide arv, mida saab valida 0-st elemendist koosneva hulga hulgast), mis definitsiooni järgi on 1 (see on ka sama põhjus, miks midagi muud, mis tõstetakse 0-i võimsusele, on 1).

Mis on vastus? Noh, meil pole ikka veel konkreetset vastust. Enamik inimesi nõustub, et see on määramatu (kuna x ^ y kahe muutuja funktsioonina ei ole lähtepunktis pidev). Kuid mõlemal poolel on kaalukaid argumente ja kuni keegi ei suuda välja tuua konkreetset tõendit ühe või teise väite kohta, on tõesti võimatu väita, kas kumbki vastab tõele.

Nüüd võite mõelda, mis juhtub, kui need kaks ühendada. Mis on ∞ x 0? Kuidas oleks ∞⁰? Noh, probleem naaseb lõpmatuseni, kuna see on lihtsalt kontseptsioon. Seda ei saa kuidagi mõõta, sul ei saa olla lõpmatul arvul kummikarusid ega lõpmatul hulgal jäätist (kuigi olen kindel, et me kõik soovime, et saaksime).

Enamasti on vastus määratlemata. Need on kõik näited küsimustele, millele pole vastust, sest me ei saa sellisele kontseptsioonile nagu lõpmatus anda tähenduslikku väärtust. Muidugi on veider erand, näiteks 0 ^ ∞, mille väärtus on omamoodi 0. Kui võtta piiriks 0 ^ n, kuna n kipub olema lõpmatuseni, on see null. Kuid need on haruldased juhtumid ja isegi siis ei ole 0 ^ ∞ tehniliselt ikkagi võrdne nulliga, vaid jõuab sellele väga lähedale.

Nii et näete, lõpmatus on väga huvitav asi, kuna see on samal ajal nii käegakatsutav ja nii abstraktne. Näete seda kogu aeg matemaatikaõpikutes ja võrrandites, kuid meil pole ikkagi konkreetset määratlust ega väärtust selle jaoks, mis see on.

Null on lihtsalt fantastiline, sest see on oma asi. Mõnikord meeldib mängida reeglite järgi, mõnikord teeb see oma asju ja aeg-ajalt lukustab ta end toas ja keeldub kellegagi koostööd tegemast.

Mõlemal on oma lunastavad omadused, mis on matemaatika valdkonnas väga kasulikud. Neil on ka oma veidrused, mis võivad olla kasulikud ja mõnikord, ning teistele valu tagumikus. Kuid kuigi see on vaid üks elu fakte, on see lõpmatuse ja nulli hämming.