10 ebamugavat hetke matemaatika ajaloos

Oleme kõik oma ebamugavaid hetki kogenud. Juhtub midagi ootamatut, seal on sotsiaalset pinget ja isiklikku rahutust ning te tõesti tahaksite sellest üle saada või unustada, et see kunagi juhtus. Mis saab aga siis, kui olete range matemaatik ja olete just oma maailma ümber lükanud?

Matemaatika on alati olnud seotud loogika kaudu maailma mõistmise ja selle rangelt määratletud matemaatilises keeles väljendamisega. On tõesti soovituslik, hariv ja lõbus jälgida matemaatikat, kui see (hetkeliselt) mõttetuks lakkas.

1. Irratsionaalsete arvude avastamine

Ateena kool, kus vasakpoolses nurgas on peaaegu kõigi võimalike antiik-Kreeka filosoofide seas Pythagoras

Kuna matemaatilise ranguse päritolu oli Vana-Kreekas, algas matemaatiline mõte usuliste veendumuste lähedal, seega omistati arvudele jumalikud omadused.

Pythagorase kool, varajaste matemaatikute okultistlik meeskond, mis lükkas matemaatilisi teadmisi edasi, nagu kõik kultused, põhines mõnedel fundamentalistlikel veendumustel. Hämmingus suhete rakendatavuse üle igas praktilises probleemis uskusid nad, et suhtarvud (jah, lihtsad jagatud numbrid) on jumalikud, kuna need suudavad seletada kõike, mis maailmas toimub.

Sellest lähtuvalt peaks kõike maailmas toimuvat saama väljendada suhtena, eks?

Kujutage nüüd ette nende üllatust, kui nad avastasid äsja formuleeritud Pythagorase teoreemi, kasutades ruutjuuriks 2 - 2. See irratsionaalne arv (irratsionaalne tähendus, et seda ei saa väljendada kahe arvu suhtena) trotsis maailmakorda, nagu see oli väljendatud suhete jumalikkusega, ja seadis kahtluse alla kogu nende filosoofia.

Selle revolutsioonilise avastuse tagajärgede pärast hirmul otsustasid nad sellest mitte kellelegi rääkida. Samuti öeldakse, et nad uputasid isegi avastuse teinud inimese Hippasuse. Vaikne teaduslik, kas sa ei arva?

2. Lõpmatus

Irratsionaalsete arvude avastus, mis oli juba niigi halb, viis kreeklasi hirmuäratavama avastuse: lõpmatuseni. Kuna irratsionaalsetele arvudele on iseloomulik lõpmatu arv komakohti, pidid kreeklased leidma seletuse, kuidas saab luua lõputut numbriseeriat. Lõpmatuse mõistet on tänapäeval raske mõista, rääkimata ajastust, mil religioon oli seotud teadusega ja matemaatiline usk ei tohiks seada kahtluse alla meie arusaamist Jumalast. Mida siis kreeklased tegid? Filosoofid, nagu Aristoteles ja Platon, lükkasid tagasi absoluutse lõpmatuse mõiste ja matemaatikud leidsid leidlikke viise lõpmatuse vajaduse vältimiseks geomeetrias, nagu näiteks Cniduse Eudoxus, kes töötas välja kuju ammendumise meetodi kujude pindala arvutamiseks. Alles 17. sajandi lõpus julgustasid Newton ja Leibniz lõpmatusega arvestama, kasutades oma lõpmatuid näidiseid ja John Wallis tutvustas 1655. aastal tuntud lõpmatuse sümbolit.

3. Zeno paradoksid

Kreeklased läksid filosoofiliste põhjenduste tegemisel kindlasti äärmustesse.

Pärast seda, kui tema eelkäija Heraclitus väitis, et kõik maailmas muutub pidevalt, väitis Parmenides, et midagi ei muutu. Seetõttu on liikumine pelgalt illusioon ja seetõttu peaks kreeklase sõnul tõde keelt kasutades seda matemaatikat kirjeldama olema võimatu.

Parenidese õpilane Zeno töötas välja paradokside seeria, mille eesmärk oli tõestada liikumise irratsionaalsust. Kõige kuulsam, Achilleus ja tema kilpkonn, läheb umbes nii: Achilleus võistleb kilpkonna vastu, mis on oluliselt aeglasem, kui ta saab võistluse alustada 100 meetrit enne teda.

Kui eeldada lihtsuse huvides, et kahe võistleja kiirused on konstantsed ja Achilleus on kümme korda kiirem kui kilpkonn, siis võime öelda, et kui Achilleus jõuab kilpkonna alguspunktini, on see jooksnud 10 meetrit. Niisiis, Achilleus püüab järele jõuda ja selleks ajaks, kui ta järgmisse punkti jõuab, on kilpkonn veel ühe meetri võrra edasi liikunud.

See keskkooli matemaatikaprobleem, mis on nii lihtne ja selge, kui see on, viib meid järgmise paradoksaalse järelduseni: Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnani, hoolimata sellest, kui kiire ta on. Palju õnne Zeno, sa tegid liikumise kõla ebaloogiliseks.

Arvati, et Zeno paradoksid eksisteerivad metafüüsikute ning probleemsete filosoofide ja matemaatikute valdkonnas läbi aegade, kuid tänapäeval saab neid seletada matemaatilise tööriistaga calculus, mida kreeklastel polnud. Liigume siis edasi.

4. Möbiuse riba

Möbiuse meisterda ise

Naljakas välimusega Möbiuse riba, mille avastas iseseisvalt ka 1858. aastal õnnetu Listing, kelle nimi jättis matemaatika ajaloo puutumata, on ainult ühe külje ja ainult ühe piiriga pind, mida sageli kasutatakse noorte matemaatikaõpilaste mõistatamiseks.

Selle saate hõlpsalt luua, võttes pabeririba, keerates selle kokku ja ühendades seejärel riba otsad.

Kuna see oli esimene orientatsioonita pinna näide, ei raputanud see matemaatika aluseid sama palju kui selle loetelu muud avastused, kuid pakkus siiski palju praktilisi rakendusi, näiteks vastupidavat vööd, ja innustas matemaatikuid välja mõtlema pöördumatud pinnad, näiteks Kleini pudel. (Selle pinna nimi pärineb tõenäoliselt kahekordsest kokkusattumusest: Klein, selle kontseptsiooni autor, nimetas seda algselt Flächeks, mis tähendab saksa keeles pinda ja kõlab sarnaselt Flaschega, mis tähendab pudelit. Tõsiasi, et see nägi välja ka pudelina, näib olevat pitseeritud ümbernimetamine).

5. Kantori reaalarvude loendamatus

Tegeledes lõpmatusega, mis on juba takistuseks, tõestas Cantor 1874. aastal, et tegelikult on lõpmatus erinevaid. Tõestades reaalarvude loendamatust tõestas Cantor, et see hulk on suurem juba niigi lõpmatu arvu naturaalarvudest.

1891. aastal esitas ta ka diagonaalse argumendi, mis on nii elegantne tõestusmaterjal, et hiljem võeti see kasutusele abivahendina tõestamiseks paradoksi kasutamise kaudu. Tema märkus sünnitas nii kardinalide arvu teooria kui ka paradokse, mis käsitlevad küsimust: mitu lõpmatust saate hakkama?

6. Russelli paradoks

Bertrand Russell oli matemaatik, filosoof, logistik, matemaatik, ajaloolane, kirjanik, ühiskonnakriitik, poliitiline aktivist ja minu arvates isiksus, keda tasub uurida ja millest end inspireerida.

Aastal 1901 avastas Russell Cantori seni väljakujunenud komplektiteoorias nõrga koha, mis viis ta vastuoluni, mida matemaatiline maailm ei suutnud kontrollida. Selle teooria kohaselt võib mis tahes asjade kogum olla komplekt.

Russelli vastuoluline näide, mida nimetatakse ka Barberi paradoksiks, on järgmine: kujutage ette linna, kus on eriline reegel; iga mees, keda ei raseerita ise, tuleb raseerida linna juuksuri poolt. Ebamugav küsimus, millele võite proovida ise vastata, on järgmine: kes raseerib juuksuri?

See avastus viis ta kahtluse alla eelmise komplekti teooria pelgates alustes ja uue loomisele, mis oli keerulisem kui hiljem välja pakutud Zermelo-Fraenkeli komplekti teooria, ei järele jõudnud.

7. Gödeli mittetäielikkuse teoreemid

Kurt Gödel logistik, matemaatik ja filosoof, kes raputas 19. sajandil matemaatika ja loogika aluseid.

Kui eelnevad sündmused näisid tekitavat pisut ebamugavaid hetki, oodake järgmist kohmetut kilpkonna (ja see on halvem kui Achilleuse oma).

Me räägime 20. sajandist. Inimesed ei tahtnud lihtsalt teada. Nad tahtsid teada saada, kas seda on võimalik teada, ja seda tõestada. Nende õnneks ja inimliku vajaduse mõistmiseks universumis avaldas Gödel 1931. aastal kaks teoreemi, mida tunti puudulikkuse teooriatena.

Nende tehniliste omaduste selgitamine on sama keeruline kui nende järelduste põhjal tulemine, kuna Gödel tõestas, et järjepidevat ja terviklikku süsteemi, näiteks aritmeetika keelt arvestades, on väiteid, mis on mõlemad tõesed ja mida pole võimalik tõestada. Ta illustreeris oma teoreemi tõde selle lihtsa väitega, mis on inspireeritud valetaja paradoksist: “Seda väidet ei saa tõestada”. Kui see on tõsi, siis on see väide tõene ja seda ei saa tõestada. Kui see on vale, siis saab seda väidet tõestada, mis on vastuolus algse väitega, mille kohaselt seda ei saa tõestada.

Need olid matemaatika jaoks väga halvad uudised, mis jätsid neilt absoluutse tõe seletamise algupärase pilgu. See oli ka kohutav tagasitulek Hilberti teadmispüüdlusele, mis väljendus tema avalduses „Me peame teadma, me teame”.

8. Tarski määratlematuse teoreem

Näib, et Tarski oli inspireeritud Gödeli loodud meeleheitest. Aastal 1936 esitas ta tõendid määratlematuse probleemi kohta.

Ehkki Tarski tehtud tähelepanekud on lisatud ka Gödeli loomingusse, väidetakse, et Tarski teosel on sügavam filosoofiline mõju. Tarskil õnnestus jõuda üldisele järeldusele, et keel ei saa tõde iseenesest määratleda. Ehkki see on oluline piirang, soovitab ta, et lihtsamas keeles tõe määratlemiseks piisab võimsama metakeele kasutamisest.

Nüüd võib tavaline inimene arvata, et see lahendab probleemi, kuid matemaatikule, kes otsib “ühte keelt, et neid kõiki valitseda”, pole see sugugi nii lohutav.

9. Peatamise probleem

Alan Turing püüdis lahendada otsustusprobleemi, mis hõlmas lihtsate sõnadega algoritmi leidmist, mis võimaldab vastata, kas väide on tõene või mitte. Selle kontseptuaalselt lihtsa, kuid raskesti lahendatava probleemi lahendamiseks sõnastas ta selle peatusprobleemiks: kas on masin, mis annab teile teada, kas programm peatab antud probleemi?

Peatamine tähendab, et see ei loobu igavesti. Kuid kuidas tõestada masina, mida te nii vähe tunnete, ligipääsmatust? Siin tulevad paradoksid kasuks.

Alan Turing alustuseks eeldas masina olemasolu, mis andis sisendprogrammi ja probleem annab vastuse küsimusele, kas see peatub või mitte. Seejärel täiendas ta seda masinat, lükates selle väljundi enda juurde tagasi, kui vastus oli jah, ja peatus, kui vastus oli eitav.

Niisiis, kas laiendatud masin peatub peatamise probleemi lahendamisel? Alani vastus on: kui jah, siis ei, kui ei, siis jah. Kõlab nagu loogika halb uudis.

10. Tasuta lõunasöögi teoreem

Üleminek 21. sajandile tähendas üleminekut puhtalt, peaaegu filosoofiliselt matemaatikalt rakendusvaldkondadele, näiteks statistikale ja optimeerimisele.

Kui arvate, et armastate optimeerimist, kas te ei arva, et see teeb teid perfektsionistiks? Ja kas perfektsionist ei tahaks leida optimaalset viisi asjade optimeerimiseks?

Näib, et David Wolpert ja William Macready tajusid seda vajadust ja tulid välja vastusega, mis muidugi polnud üldse julgustav (muidu poleks seda meie nimekirjas). 1997. aastal avaldatud optimeerimise tasuta lõunat käsitleva teoreemi kohaselt "on kaks optimeerimise algoritmi ekvivalentsed, kui nende jõudlus on arvestatud kõigi võimalike probleemidega."

See võib südant murda, see ei tähenda, et optimeerimine oleks mõttetu. Me ei leia kunagi selle saavutamiseks üldiselt optimaalset viisi.

Need hetked panid matemaatika maailma kohmakalt tundma, mis on kerge mõiste meeleheite ja kaose tunnete jaoks, mida teadlased kipuvad kogema, kui universum lakkab mõistmast. Kuid šokk on viis teaduse edasiarendamiseks.

Loodi matemaatilised väljad, saime Turingi masina, väljamõeldud välimusega pinnad ja mis kõige tähtsam - võime oma taju uuesti uurida ja oma tööriistu vastavalt kohandada.

Need küsimused aitasid meil intellektuaalselt areneda.

Välja arvatud puudulikkuse teoreemid. Need olid lihtsalt laastavad.